newbahar

Normal Dağılım

Ahmet Eser, Sızıntı Mayıs 2007

Bir metal para havaya atıldığında yazı veya tura gelir. Bir zar atıldığında beş gelip gelmeyeceği konusunda kesin bir şey söyleyemeyiz. Metal parayı havaya atma işlemi, binlerce, milyonlarca kez tekrarlandığında, bu paraların yaklaşık olarak % 50’ye, % 50 yazı ve tura geldiği görülür. Altı milyon defa atılmış bir zarın bir milyon tanesinin beş geldiğini söylersek, çok yakın bir tahminde bulunmuş oluruz. ‘Cüz’de zâhiren düzensiz ve rastgele gibi görünen şeyler, ‘küll’de bir kanunun veya bir hakikatin parçası olarak karşımıza çıkar, kendisinden ziyade başka bir hakikatı ifade eder. Tek başına duran bir ‘e’ harfi bize bir şey ifade etmez; ama dilimizde ‘l’, ‘m’, ‘a’ harfleriyle birleşerek ‘elma’ kelimesini oluşturur.

Nobel Mükâfatı’nı kazanmış olan Feigenbaum şöyle bir misâl verir: Piknik yapan bir grup insan düşünelim. Bunlardan giderek uzaklaşalım. Yeterince uzağa gidip baktığımızda bu insanların hareketleri belirsizleşir ve bize anlamsız, rastgele hareketlermiş gibi gelir. Oysaki onların yanındayken yaptıkları her şeyi mânâlandırırız. Bir konuda karar verirken sahip olduğumuz bilgiler doğrultusunda bir hükme varmamız fıtrî bir davranıştır. Eğer peşin hükümlerimiz işin içine giriyorsa, bu durumda cüz’î ilmimizi kendimizce hemen küllîleştirir(!) ve sanki o konuda bilinmesi gereken her şeyi biliyormuş gibi davranırız.

Feigenbaum’un piknik misâlinde olduğu gibi bir hâdiseyi mânâsız bulmamız veya izah edemememiz, o hâdisenin hakikatte mânâsız olduğunu göstermez, sadece farklı bir zâviyeden veya makro plândan yaklaşmamız gerektiğini ortaya koyar. İşte hâdiselere geniş pencereden bakamamamız ve cüzleri birleştirip küllü kavrayamamamızdan dolayıdır ki, karşılaşıp da izah edemediğimiz birçok hâdiseyi mânâsız ve düzensiz buluruz. Oysaki değişik ilim sahalarında yapılan çalışmalarla aslında düzensiz gibi görünen bazı hâdiselerin, ‘dağılım fonksiyonları’yla genel çerçevede bir düzenin parçası olduğu hakikati gösterilmiştir. Burada dağılım fonksiyonlarının ne olduğunu, ne tür ve en sık hangi dağılımlarla karşılaşıldığını belirtmeden önce ihtimaliyet kavramının anlaşılmasında fayda vardır.

Sebepler plânında bir hâdisenin neticesini belirleyen birçok parametre vardır. Meselâ siyahî ve melez bir çiftten doğacak çocukların deri rengi beyaz, siyah veya melez olabilir. Burada müessir kılınan parametre gen faktörüdür ve değişik gen kombinasyonlarıyla bu çiftten farklı deri rengine sahip çocuklar yaratılabilmektedir. Bir insanın zekâ seviyesini sebepler dairesinde birçok parametreyle açıklayabiliriz: genetik faktörler, çevre faktörleri... Cenab-ı Hakk, bu parametrelerin değişik kombinasyonlarıyla zekâca farklı farklı insanlar yaratmıştır. Misâlleri çoğaltmak mümkün. Aynı hâdiseye tesir eden parametreleri Fâtır-ı Hakîm’in değişik kombinasyonlarla bir araya getirmesi neticesi kâinatta çeşitlilik meydana getirilmiştir. İstatistikî metotlar kullanılarak da bu çeşitliliğin nispetleri tespit edilebilir. Meselâ, “Herhangi bir insan % 25 ihtimalle siyahîdir.” gibi neticelere ulaşılır. Burada, kâinattaki ihtimaliyetin izafî bir kavram olduğu unutulmamalıdır. İhtimaliyet, olacak bir hâdisenin önceden neticesinin tam olarak kestirilememesidir (Zât-ı Evvel ezelî ilmiyle her şeyi bilir. İhtimaliyet insana mahsustur).

Meselâ ÖSS’de herhangi bir talebenin düşük puan almasının birçok sebebi olabilir: eğitim yetersizliği, az çalışma, yeterince zeki olmama, sınavda heyecanlanma, şıklarda kaydırma yapma, ilgi alanının farklılığı... Bu başarısızlığın sebebini tam olarak bilemeyebiliriz. Bu öğrenci çok başarılı bir okulda zeki bir öğrenci de olabilir. Meseleye okul açısından bakacak olursak, eğer bu öğrencinin okulunda bütün öğrencilerin ÖSS puanı ortalaması hesaplanıp, bunun ülke ortalamasının çok altında olduğu fark edilirse burada farklı bir tablo ortaya çıkar, o da okulda verilen eğitimin yetersizliğidir. Görüldüğü gibi istatistik bilimi bu tür verilerle birçok hâdisenin altında yatan sebepleri bulmamızda bize yardımcı olur.

Fen bilimlerinde veya sosyal bilimlerde de istatistikî metotlar kullanılarak birçok hâdise hakkında daha net yorumlar yapılabilir. Bunun için örneklerin değerleri ile oluş sıklıkları çeşitli ölçüm metotlarıyla bulunur ve tablolaştırılarak veya grafiği çıkartılarak belli neticelere ulaşılır. Bunlardan faydalanılarak da ihtimaliyet dağılım fonksiyonları (İDF) elde edilir.

İDF, bir ölçümde bir çeşit misâlin ne kadar sıklıkla veya başka bir deyişle ne ihtimalle gerçekleştiğini bulmamızda yardımcı olur. Meselâ bir toplumda insanların ağırlık ve boy verileri toplanarak vücut kütle indeksleri bulunur ve toplumun yüzde kaçının obez, şişman veya zayıf olduğu tespit edilir. Her bir kategorinin görülme sıklığı grafikleştirilerek vücut kütle indeksinin İDF’si çıkartılır. Bu dağılım fonksiyonunun zaman içindeki değişimini inceleyerek de, birtakım problemleri tespit edebilmek mümkündür. Meselâ, zamanla hem toplumumuzda, hem de dünyada obez insan nispetinin arttığı tespit edilmiş, bunun başlıca sebeplerinin de insanların ihtiyaç duyduklarından çok fazlasını tüketmeye teşvik edilmesi, fast-food kültürü, hayatın kolaylaşıp hareketsizliğin artması gibi sebepler gösterilmiştir. İDF’lerin birçok konuda çok yardımcı unsurlar olduğu bu örnekten anlaşılabilir.

Fen bilimlerinde veya normal hayatta istatistikî olarak karşımıza en çok çıkan İDF ‘normal dağılım’dır. Çok sayıda farklı tür dağılımların da var olduğu hatırda tutulmalıdır.

Şekil 1’de grafiği görülen normal dağılım, Gauss dağılımı veya bir çana benzediği için ‘çan eğrisi dağılımı’ olarak da adlandırılır. Girdilerin standart sapmaları (σ) ve ortalamaları (µ), normal dağılımın karakteristiğini belirler.

Bu grafikte yatay eksen değer kümesini, düşey eksen ise, her bir değerin oluşma sıklığını gösterir.

Bazı parametrelerin kendileri, bazılarının da logaritmaları normal dağılıma sahiptir ki, bunlara ‘log-normal’ dağılımlı denir.

Daha önce de belirtildiği gibi normal dağılım fen bilimleri ve sosyal bilimlerde sıklıkla karşımıza çıkar. Meselâ bir elektronik cihazda, elektronların rastgele hareketinin sebep olduğu termal gürültü normal dağılıma sahiptir.

Bir ülkede insanların hayat süreleri, boyları, kiloları, kan basınçları gibi fizyolojik özelliklerinin grafikleri çıkartıldığında bunların normal dağılıma sahip olduğu görülecektir. Başka bir ülkede aynı özelliklerin grafikleri çıkartıldığında yine normal dağılım eğrisi elde edilecektir. Fakat elde edilen bu grafiklerin, ülkemizdekine kıyasla bazı farklılıkları olacaktır. Meselâ ülkemizdeki ortalama ömür süresi ile bir Batı ülkesindeki ortalama ömür süresi farklı olacaktır. Keza bir İskandinav ülkesi ile ülkemize ait boy grafikleri arasında yine farklılıklar görülecektir. Ama bütün bu grafikler normal dağılım eğrisine sahip olacaktır.
İnsanların zekâ seviyeleri de normal dağılımlıdır. Meselâ yeterince büyük bir popülasyonda yapılan bir IQ testinde, insanların aldığı IQ puanları normal dağılımlıdır.1

Ekonomide döviz kurları, enflasyon oranları gibi parametreler log-normal dağılıma sahiptir.2

Bir ağaçta açan çiçek ve meyvelerin büyüklükleri log-normal,3 badem çiçeklerinin açma zamanları4 ise normal dağılımlıdır.

Yerkabuğundaki galyum, kobalt, bakır, altın, uranyum gibi elementlerin birçoğunun yığışma miktarı ve bazı elementlerin radyoaktiviteleri log-normal dağılıma sahiptir. Su çiçeği, bakterilerin sebep olduğu gıda zehirlenmeleri (meselâ salmonelloz), çocuk felci, amibik dizanteri gibi bazı hastalıkların latent dönemleri (mikrop kuluçka devreleri) log-normal dağılımlıdır. Bazı kimyevî maddelerin ve organizmaların çevredeki dağılımı yine log-normaldir. Meselâ yağan yağmurun miktarı, baldaki HMF (hidroksi metil furfurol) miktarı, hava kirliliği, atmosferdeki aerosolün büyüklük dağılımı yine log-normaldir. Diatom (tek hücreli deniz algi), bitki, balık, kuş, güve gibi canlıların bir ortamdaki miktarları log-normaldir. Bir telefon konuşmasında kurulan cümlelerin kelime olarak uzunlukları ve kelimelerin harf olarak uzunlukları yine log-normal dağılıma sahiptir. Evlenme yaşı, insanların sahip oldukları tarla büyüklükleri ve gelir seviyeleri gibi sosyal faktörler de log-normal dağılımlıdır.3

Aynı şartlar altında tekrarlanan bir deneydeki ölçüm hataları da normal dağılıma sahiptir. Zîrâ deneyi yapan lâborant ne kadar istese de kontrol altına alınamayan küçük hatalardan dolayı dâima aynı neticeyi elde edemeyecektir. Yeterince fazla deney yaptığında ve deney neticelerini oluşma sıklıklarına göre gruplandırdığında, lâborantın karşısına normal dağılıma sahip bir eğri çıkacaktır.5

Burada verilen misâller, tabiatta karşımıza çıkan normal dağılımlı hâdiselerin sadece küçük bir kısmıdır; örnekleri çoğaltmak mümkündür. Enteresan olan husus, tamamen farklı branşlarda gelişen hâdiselerin neticelerinin aynı istatistikî özelliği göstermesidir. Yani her varlık, her hâdise, her coğrafya için her türlü ihtimal geçerlidir; ancak netice küllî sistem için genellikle normal dağılım ile ifade edilecek şekilde ortaya çıkmaktadır. Farz-ı muhal bu hâdiselere bu tür bir özellik verilmese idi, bu branşlarda uğraşan ilim adamları mesleklerini yerine getiremezlerdi. Meselâ bir elektronik mühendisi, bir cihazın iç gürültüsünü hesaplayamaz, tasarladığı cihaz bazen çalışır, bazen çalışmazdı. Aynı zorluk enflasyon veya kâr payı oranını kestirmeye çalışan bir iktisatçının karşısına da çıkardı. Allah’ın Hakîm ve Mürettib ismi bize eşya ve hâdiselerdeki tedricilikten dolayı, tesadüflerle değil, kâidelerle plân ve program yapmamız gerektiğini gösterir. Evet, kâinattaki düzende çok sayıda matematikî dağılışa sahip hâdise vardır ve varlık âlemi bunlarla devam ettirilmektedir.

1733’te Abraham de Moivre tarafından keşfedilen Normal Dağılım Hakikati’ne, rastgele gibi görünen hâdiselerdeki intizama, ‘aklın ihtiyarı elden alınmaz’ kâidesi gereğince, deterministler elbette kendilerince bir izah getirmişlerdir(!) Onlara göre, zikredilen bunca örnek “hata kanunu”nun değişik tezahürleridir(!)6 Bu kanunun varlığı ise kendindendir(!)

Normal dağılım, kâinatta cereyan eden hâdiselerin, varyasyonların, yani Esmâü’l-Hüsnâ’nın sonsuz sayı, çeşit ve ihtimaldeki tecellilerinin bir kısmının modellenmesidir. Kâinatta abes veya hatalı bir iş yoktur. Cüz’î olsun küllî olsun, her hâdise “Ol!” emriyle gerçekleştiğinden bunları tesadüfe vermek “Kun fe Yekun-Ol! der, oluverir” sırrının Sahibi’ne karşı bir saygısızlıktır. Anlayamamamız sebebiyle bize mânâsız ve rastgele gibi görünen hâdiselerin de Hakîm ve Adl olan Allah’ın ilmi, iradesi, emri ve takdiri dâhilinde gerçekleştiğini unutmamamız gerekir.

Yorumlar (2)